Форум » Мир, наука, политика, искусство, экология » Математика - это красота, красота - это математика » Ответить
Математика - это красота, красота - это математика
Евгений Беляков: ПРЕДИСЛОВИЕ В этом сборнике я пытаюсь привлечь внимание читателя к очень странной проблеме: почему одну из самых красивых наук на свете - математику - так не любят дети? Как можно не любить математику, если в ней воплощена сама суть науки и красоты? Если сам Леонардо да Винчи говорил: «Никакое человеческое исследование не может быть названо истинной наукой, если оно не проходит математического доказательства»? Неужели из-за сложности материала? Но ведь уровень требований - это параметр, который задан нами: программой, действующим учебником, он определяется учителем, наконец. Можно ведь объяснить и попроще. Неужели мы так не любим наших детей, что преподаем одну из самых прекрасных наук таким ужасным способом, что дети начинают ее ненавидеть? Или математика ДЕЙСТВИТЕЛЬНО столь сложна, что ее невозможно изучить без слез? Но полистав действующие учебники по математике, взглянув на них свежим взглядом, я отчетливо понял: не в этом дело. Учебники МОЖНО написать просто. Да вот только это никому совершенно не нужно. Наоборот, ставится цель максимально ЗАПУТАТЬ учебники, мак-симально УСЛОЖНИТЬ материал, поднять планку сложности никому не нужных, не дающих ничего ни уму, ни сердцу тупых упражнений. Зачем же это делается? Тому две причины. В советское время «культура» считалась надстройкой, школу назы-вали «политехнической». Одной из ее задач было просеивание людей по уровню способностей к технико-математическому мышлению. Не требовалось понимание красоты. Красота была нужна в ограниченном размере: для пропаганды марксизма-ленинизма. А в силу общего уродства жизни повышенная чувствительность к эстетической стороне жизни была попросту вредна. К тому же повышенные критерии по части технических навыков предъявлялись всем: кто им не удовлетворял, просто не поступал в вуз, но до конца своих дней помнил про ненави-стные «арккосинусы», на которых срезался на экзамене. Такие «неспособные» становились до-ярками, слесарями, учителями, лифтерами… Все они были недоучившимися «политехниками». Когда в педвузе я слышал об идеях «гармонического воспитания», на которых основана, якобы, советская школа, то я думал только лишь о мере человеческого лицемерия, которое меня окру-жало. А вот вторая причина детской ненависти к математике: авторы учебников, как и мето-дисты, составляющие программы, как и сами учителя, разделяющие их установки, стремятся (сознательно или бессознательно) создать у учащихся прочный КОМПЛЕКС НЕПОЛНОЦЕН-НОСТИ, и использовать это «в учебных целях». Для дисциплины. Бедные дети! И как удивительно, что некоторым из них все-таки удается в конце концов полюбить математику! И при таких-то установках мы осмеливаемся говорить о трудностях с мотивацией у детей! И так устроена ПОЧТИ ЛЮБАЯ государственная школа (за некоторыми, впрочем, не-многими, исключениями). Ставится задача обучить не науке как таковой, а тому, как жить в об-ществе, будучи винтиком и шестеренкой в огромном государственном механизме. Сначала нужно научиться терпеть свою винтикообразность в школе, а для этого ребенка нужно ЗАПУ-ГАТЬ. Что и делается в высшей степени успешно на уроках математики. Ни о каком развитии личности, как правило, речи не идет, нет! Наоборот, именно наи-более яркие личности в школе особенно сильно ненавидят математику. Потому что она выхо-лащивает именно личностное начало. Потому что она унижает их, стремится сделать послуш-ными. Дети ненавидят математику не из-за особенностей науки, а потому, что именно этот предмет издавна используется учителями, чтобы унизить, запугать, запутать учеников. Моих пятерых детей я в школу до 6-7 класса не отдавал, учил их сам. Так уж получи-лось. С одной стороны, так сложились обстоятельства, с другой - так мы с женой решили. По-шли на такой необычный тогда еще (дело-то было еще при СССР) эксперимент. Между тем именно в домашней школе авторитарный метод преподавания математики НЕВОЗМОЖЕН. И я оказался перед необходимостью думать о другом, о ДРУГОЙ МОТИВАЦИИ. Итак, если вы хотите, чтобы ваш ребенок был «хорошо адаптирован», приспособлен к окружающему миру, чтобы он легко смирился со своей ролью винтика и исполнителя заданий вышеспоящего начальства - то тогда домашняя школа не для вас. Но если вы собираетесь всерьез воспитывать ЛИЧНОСТЬ, если хотите приобщить вашего ребенка к высокой человеческой культуре, к творчеству, к самовыражению, то тогда метод воспитания страхом и негативными стимулами - НЕПРИЕМЛЕМ (ни в домашней, ни в государственной, ни в частной школе). А в домашней школе давайте хотя бы на время забудем методы современной школьной массовой «педагогики». Они не имеют ничего общего с подлинной, гуманистической педагоги-кой. Применять авторитарные методы в домашней школе НЕВОЗМОЖНО, не только потому, что этого очень не хочется, но и хотя бы уже из-за того, что просто НИЧЕГО НЕ ПОЛУЧИТСЯ. В классе ребенок находится в казенной обстановке школы, рядом с ним - другие дети, которые тоже оторваны от свободной игровой обстановки семьи. Там ВСЕ выполняют некие традицион-ные правила, а поэтому КАЖДЫЙ ПО ОТДЕЛЬНОСТИ их выполняет. Дома же ребенок вас просто не будет слушаться. Занятия превратятся в сплошной, непрекращающийся конфликт. И если вы вовремя не измените стратегию, домашняя школа может рассыпаться как карточный домик. И если взглянуть на вещи реально и с точки зрения гуманизма, то выходит: нужно - и в домашнем, и в государственном варианте обучения - искать способ ЗАИНТЕРЕСОВАТЬ ребенка занятиями. Но именно МАТЕМАТИКА в этом плане особенно подходящий предмет. Именно в математике внутренняя ее КРАСОТА - прекрасный повод к тому, чтобы ваш сын или ваша дочка полюбили ее. Нужно только научиться РАСКРЫВАТЬ ребенку красоту математики (а это очень просто, потому что она такая и есть). МАТЕМАТИКА - ЭТО КРАСОТА, сконцентрированная в наивозможно маленьком объеме. Это - сама эссенция красоты. Есть эстетическая теория, утверждающая, что красота вообще - это наличие ВНУТРЕННИХ математических закономерностей в предмете, ощущаемых нами как гармония. Но нет необходимости обращаться к философским теориям - художники издревле прекрасно ЗНАЛИ, что наиболее красивая пропорция у растения ли, в спирали улитки или в теле человека определяется ЗОЛОТЫМ СЕЧЕНИЕМ: математическим рядом отношений, которые великий французский архитектор Ле Корбюзье назвал МОДУЛОРОМ (хотя сам термин «золотое сечение» появился только в эпоху Возрождения). А ведь ПРИЧИНА ЛЮБВИ - КРАСОТА. Так давайте же поучимся находить красоту в математике (которая и сама есть не что иное как красота). Находить - и заражать этой красотой наших детей. Возможно, если мы всерьез поставим перед собой эту задачу, то сможем открыть НОВЫЕ аспекты и школьной математики, причем даже школьные учителя, которые, конечно же, втайне любят свой предмет и страдают от необходимости уродовать его, скажут нам «спа-сибо». В этом сборнике приводятся некоторые мои публикации последних лет на эту тему в «Учительской газете», а также еще неопубликованные работы. Я верю - методы, которые я при-менял (в меру моих способностей) в домашней школе - УНИВЕСАЛЬНЫ и рано или поздно придут в массовую педагогику и в государственную школу. Я не призываю отменить школы, но их нужно реформировать. И главная реформа - внутренняя, духовная. Своего рода необходимость обрести педагогическую Чашу Грааля - символ духовности и человечности. И мне довелось прикоснуться к этим поискам. Эта книга - описание этого прикосновения.
Ответов - 2
Евгений Беляков: ПРЯМАЯ ПРЕРЕСАДКА ТЕОРЕМ Об учителе математики Владимире Ильине Эта статья, посвящена Владимиру Ильину, одному из лучших, как я считаю, учи-телей математики нашего времени. Я встретился с ним на конкурсе «Учитель года-98», где он завоевал первое место. Я освещал в «Учительской газете» номинацию «Математика» этого конкурса, поэтому сразу же после его окончания встретился с Владимиром Лео-нидовичем в Санкт-Петербурге. Очень важно, что урок Ильина на втором туре конкурса назывался «Математика - это красота». В некотором смысле именно Ильин оказался вдохновителем моих дальнейших исследований и занятий в нашей домашней школе. В чём секрет Владимира Ильина? Почему его уроки захватывают и не отпускают? По-пытаюсь объяснить. Нам много раз говорили и говорят (и будут говорить): есть великое СРЕД-СТВО, позволяющее учить с огромной скоростью и с невероятной глубиной усвоения. Мы знаем и всегда знали - такого средства нет. Но есть предмет, его содержание, с которым учитель идёт к детям. Чем больше, глубже ЛИЧНОСТЬ учителя, чем сильнее его увлечённость, самоотдача - тем свободнее действует на ученика естественная красота предмета и тем меньше важны все средства, все подпорки и приёмы. Ильин - это учитель, который идёт к детям сам, как человек, как математик, влюблён-ный в эту науку. Он «просто» заражает своей математикой, своей индивидуальностью. Он де-монстрирует ученикам своё математическое мышление, и эта демонстрация и есть его главный козырь. Ильин - «открытый мозг», в котором шевелятся теоремы. Не нужно никаких «приёмов» наглядности, когда в непосредственном общении куски математической реальности просто пе-ресаживаются из одной головы в другую. Но, конечно, всё совсем не просто. Это - не хирургия ведь, это «магия» учебного диалога и порой такого запретного монолога. Запретного для тех, кому нечего сказать, кроме буквы программы. И это неповторимо. К сожалению, нет «технологии» Ильина, которую можно осво-ить, чтобы твои ученики так же интересовались предметом. Ильин 27 лет проработал в школе (теперь это Математический Лицей), которую сам же и закончил. К таким вершинам идут годами, да что там - десятилетиями... Есть лишь некоторые принципы, но их применение учите-лем не настолько свободно владеющим предметом, и даже просто не столь глубоко понимающи м, что «математика - это красота» (что было основной мыслью «победного» урока), вряд ли приведёт к тем же результатам. Например - особое отношение Ильина к так называемому «повторению». Ведь чем больше нового стандартно-программного материала проходят в школе, тем больше нужно по-вторять. Таким образом объём повторяемого материала растёт из класса в класс. И в старших классах, естественно, роль повторения должна стать чуть ли не ведущей. При этом последова-тельное накопление материала в дедуктивном порядке, так, как он расположен в «идеальном» математическом тексте должно неизбежно смениться каким-то другим принципом, связанным с «поддержкой» всего построенного раньше математического здания. У Ильина такая поддержка осуществляется через «комплексы» задач, теорем, рассуждений, поисков, маленьких открытий, когда разбирая одну сквозную тему, можно привлечь (и повторить!) множество иных тем. Например, в центре одного из двух уроков, показанных Ильиным на учительском кон-курсе стала теорема Вариньона: если соединить середины сторон произвольного четырёхугольника, то получится параллелограмм. В доказательстве используется средняя линия треугольника (то есть нужно вспомнить её определение и свойства). Ильин ставит сначала «мотивирующую» физическую задачу: «Какой минимальной высоты должно быть зеркало, чтобы вы увидели себя в нём от головы до пят?» (Ответ: зеркало должно быть «средней линией» треугольника со стороной в виде отражающегося в нём человека, а потому - в два раза меньше его роста). Значит нужен небольшой экскурс в оптику! Дальше доказательство (без лишних записей) теоремы Вариньона и - серия задач, фактически складывающаяся в небольшое исследование. Вот некоторые из них. Есть два четырёхугольника: «внутренний» и «объемлющий». Пусть один из них при-надлежит к какому-то классу (будет ромбом, трапецией, четырёхугольником с пересекающими-ся под прямым углом диагоналями и т.д.) - каким будет другой четырёхугольник? Затем - обобщение Вариньона: оказывается, теорема действует не только для выпуклых четырёхугольников. И даже не только для плоских ( у «не плоских» - вершины не лежат в одной плоскости). Это уже стереометрия - работа на близкое будущее. Доказательство остаётся прежним, но чтобы убедиться в этом, нужно ещё раз его просмотреть (а там и теорему о средней линии). Затем - новый шаг: свойство треугольной пирамиды, линии, соединяющие середины противоположных её рёбер пересекаются в одной точке! Отсюда - всего миллиметр до известной уже теоремы о медианах треугольника. Выяснилось, что хвалёные наши московские деточки эту теорему напрочь забыли! Итак, она достаётся из подвалов памяти и заново доказывается, теперь уже для этого потребовалось всего несколько слов - на доске уже была «подстроена» подсказка (помните наш невыпуклый четырёхугольник? Ильин его специально «забыл» стереть. Туда нужно «палочку добавить» и - теорема доказана). А где теорема о медианах - там и центр тяжести - «комплекс» поддерживаемых знаний стремительно разворачивается. Центр тяжести всегда существует - значит три медианы пересе-каются в одной точке. - А вот Архимед доказывал эту же теорему иначе! - говорит Ильин. - Надо разрезать треугольник на тонкие полосочки... В конце урока дело доходит до сложных олимпиадных задач. Я сидел на задней парте. Я не был учеником. Но я стал им, так захватил меня развора-чивающийся «сюжет» исследования. И в голову мне полезли (как бывало раньше) разные мате-матические мысли... На уроке Ильина произошла настоящая «закрутка» - почему? В чём секрет? В его искренности, в его самоотдаче, в созданном им «творческом вакууме», который так сильно притягивает музу открытий.
Евгений Беляков: Школьная математика + ? Речь сейчас пойдёт не просто об элементарной математике, но о тех азах, которые про-ходят в начальной школе. Типа умножения в столбик и деления уголком. Считается, что вот уж это – верх совершенства, в том смысле, что лучше ничего придумать никак нельзя. Меду тем сравнительно недавно, ещё в прошлом (двадцатом!) веке некоторые «исход-ники» математики были усовершенствованны. Я приведу только два особенно ярких примера. Все мы умеем записывать арифметические выражения со скобками. Куда же деваться без скобок? - спросит читатель. Даже некоторые математики убеждены, что скобки – необходи-мейший атрибут математики. Они есть и в анализе, и в алгебре: вы представляете алгебру, да без скобок? Не может такого быть! Хочется спросить: потому что не может быть никогда, да? Однажды польский логик Ян Лукасевич (академик Польской и Ирландской академий наук) предложил на выбор две записи. 1) прямая польская запись и 2) инверсная польская за-пись. Мы здесь поговорим об инверсной, то есть обратной. В ней знак всегда ставится не между двумя операндами (слагаемыми или делимым и делителем и т.п.), но ПОСЛЕ НИХ. Так выра-жение а+b запишется ab+. И оказывается, что применяя этот же принцип для более сложных выражений, можно убедиться: скобки НЕ НУЖНЫ. Например, выражение (a+b) c запишется так: ab+cх, выражение p-(d/(a+b))/(e+f)х(k+l) как pdab+/-ef+/kl+х . Как вообще «переводить» выражение из обычной в инверсную форму? Сначала записываем его в один этаж, то есть для деления используем знак /. Затем выписываем одни буквы в том порядке, как они уже записаны, пропуская все знаки действий и скобки. И, наконец, вставляем знаки действий: это не сложно, рассмотрим на примере выражения p-(d/(a+b))/(e+f)х(k+l), которое после пропуска скобок и знаков перепишется так pdabefkl. Первое действие a+b, вставляем + после ab: pdab+efkl. Теперь d мы должны поделить на результат сложения, то есть вставляем / после + : pdab+/efkl. И так далее, что даёт в конце концов: pdab+/-ef+/kl+х . В этом новом «языке» (попробуйте хоть немного поработать с такими формулами само-стоятельно!) есть какая-то удивительная гармония, как во всём, содержащем максимум инфор-мации при минимуме объёма. Мы убрали скобки. Казалось бы, сделали немного, но - именно «чуть-чуть» приводит к красоте. Так вот это ещё не всё. В программировании есть такое поня-тие СТЕК. Вот что это такое. Это ряд ячеек, в которых могут записываться числа (можно назы-вать эти ячейки числовыми). Пусть у нас 4 ячейки: Х,Y,Z,Т. При записи числа в ячейку X, то число, которое там было записано раньше, запишется в ячейку Y, то, что было в ячейке Y, пе-реместится в Z, то, которое было в Z, попадёт в Т, а число из Т сотрётся. То есть все числа сдви-нутся вправо. При выполнении какого-то действия стек работает так. Сначала первый операнд записывается в ячейке X (и все числа стека сдвигаются вправо). Затем второй операнд записы-вается в ячейке X (и снова все числа сдвигаются вправо, так что первый операнд оказывается в ячейке Y). После этого выполняется действие, результат записывается в ячейке X. При этом оба операнда исчезают вообще, в освободившуюся ячейку Y записывается число из ячейки Z, а в ячейку Z записывается число из ячейки T. То есть все остальные числа сдвигаются на одно место влево. Так вот: если вы работаете со стеком (например, им снабжён ваш микрокалькулятор), то число в инверсной польской записи есть ничто иное как «ПРОГРАММА» ДЛЯ ВЫЧИСЛЕ-НИЯ ДАННОГО ВЫРАЖЕНИЯ! В последнем примере надо просто последовательно набирать соответствующие числа (нажимая после ввода каждого числа кнопочку «^», которая есть в та-ком калькуляторе) или знаки действий. При этом процесс оказывается оптимальным, то есть короче вычисления сделать невозможно. Стек используется не только в калькуляторах, но и при вычислениях на обычном ком-пьютере, только мы об этом не думаем, нам ведь выдаётся только окончательный результат. Совпадение? Я объясняю это известным правилом системного анализа: концентрированная информация структурируется изоморфно. А вот другой пример. Когда мы самостоятельно считаем, например, умножаем «в столбик», мы на своей шку-ре чувствуем тяжесть жизни. Чем больше числа, тем труднее вычислять. Если вычисляет ком-пьютер, то тут речь идёт о времени. Если числа большие, это не значит, что из компьютера вскоре пойдёт дымок и он спечётся, нет, просто он будет слишком долго вычислять. Для многих расчётов, например, в области коммерции, это стоит больших денег. В особенности много вре-мени занимает умножение. Например, чтобы стандартно перемножить два двузначных числа, нужно выполнить 4 умножения (и чтобы умножить два 2N-значных числа, нужно сделать 4 ум-ножения N-значных чисел). Но однажды в 1962 году неизвестный никому студент МГУ (А.А.Карацуба, сейчас он - профессор) предложил новый метод умножения, где требуется всего ТРИ УМНОЖЕНИЯ! Таким образом, следуя методу Карацубы, мы сокращаем время на умно-жение почти на четверть. Можно только отдалённо себе представить, какова реальная цена (например, в долларах или в евро) этого открытия. Интересно, получил ли Карацуба за него хотя бы цент. Ну да это – к слову. Этот способ для перемножения любых 2-значных чисел, вытекает из равенства, кото-рое можно непосредственно проверить: (A+10B)(C+10D)=AC(10+1)+(D-C)(A-B)10+BD(100+10). Вот пример умножения двузначных чисел: ..........34.....(1) ..........42.....(2) ............8 ..........8 ..........2 ........12 ......12 . ......1428 В скобках - разности (для первого числа единиц и десятков, для второго – десятков и единиц), в первой строчке поля промежуточных результатов – произведение единиц, во второй – оно же, сдвинутое влево; в третьей строчке произведение чисел из скобок, в четвёртой – про-изведение десятков, сдвинутое на 1 разряд, в пятой – оно же, сдвинутое на 2 разряда. Удобнее, конечно, писать сразу 88 и 132, вместо первых и последних пар строчек: тогда в поле промежу-точных результатов будет всего три строки. И, мне кажется, читатель вдруг почувствовал, что такой способ умножения легче обычного. В нём чувствуется какая-то воздушность, а это при-знак красоты. Конечно, чтобы в школе, начиная с первого класса ввести обучение таким методам ум-ножения или таким способам записи формул, нужно переубедить всю вселенную. Ничего не получится. Но всё-таки нам не мешает помнить, что наряду с той стандартной так называемой «элементарной математикой», которой мы учим наших бедных детей, и которая для многих ой как не элементарна, есть и другая, и манящий образ её вдохновляет даже последних двоечников (если им, конечно, удаётся с ней встретиться). Но мы учим – другому. И, пожалуй, так будет до скончания веков. Но если кто-нибудь из учителей как-нибудь, даже на переменке, расскажет своим ученикам о том, что есть в математике нечто, что воздушностью напоминает фею сирени, право же, это будет совсем не плохо.
полная версия страницы